Pour répondre à une telle multitude de questions, fortes intéressantes au demeurant, et faire le tour d'un sujet aussi vaste, il faudrait un laps de temps bien plus important.
Nous nous contenterons donc de survoler les sources principales de cette Mitsva.

« Consacre-moi tout premier-né, tout prémices des entrailles parmi les enfants d’Israèl, soit homme soit animal : c’est mon bien » (1).
Par ces mots la Tora nous ordonne de sanctifier tout les premier-né male.
Les commentateurs (2) expliquent qu’à l’ origine ce sont les Békhorote (premiers nés) qui auraient du servir Hachèm dans le Bét Hamikdach. Mérite qu’ils ont perdu lors de faute du veau d’or au profit des Léviim (tribu de Lévi de laquelle sont issus tous les Kohanim).

En quoi le rachat du premier né est-il lié à la sortie d'Egypte ?
Nos ancêtres ne purent être libérés de leur esclavage et sortir d'Egypte qu'après qu'Hachèm ne fasse tomber la dixième plaie sur les Egyptiens (mort des premiers nés). Tous les premiers nés de l'homme et de l'animal furent touchés. Seuls les Bné Israël furent épargnés de façon miséricordieuse.
Ainsi s'exprima Hakadoch Baroukh Hou : "car tout premier né parmi les Bné Israël de l'homme ou de l'animal m'appartient depuis que j'ai frappé tous les premiers nés sur la terre d'Egypte".


On comprend donc que depuis cet événement, les premiers nés soient entièrement consacrés à Hakadoch Baroukh Hou. Mais pourquoi doit-on racheter le premier né au Kohèn ?

Les premiers nés des animaux (qui ne comportaient aucun défaut), étaient destinés à être sacrifié sur le Mizbéa’h par le Kohèn. Les premiers nés de l’homme par contre étaient destinés à accomplir toutes les taches saintes du service divin dans le temple.
Cette fonction devait revenir au premier-né depuis le jour de la sorti d’Egypte. Il faut préciser toutefois, que depuis toujours la 'Avoda (le service divin) était accomplie par les premiers nés en commençant par Adam Harichone (3).
Ils ont été déchu de cette prérogative car ils se sont associé à la faute du veau d’or.

La tribu de Lévi fut la seule à s’abstenir de cette faute d’idolâtrie. Depuis ce jour les premiers nés perdirent le mérite d’accomplir le service divin au profit des membres de la tribu de Lévi.
Les Bné Lévi ne reçurent aucune part dans la terre d’Israël ni aucun bien propre car ils furent consacré entièrement et exclusivement au service divin.
Ils abandonnèrent donc toute part de l’héritage qui leur revenait ainsi que toutes les possessions matérielles afin de se consacrer entièrement et exclusivement au service du peuple d’Israël dans son ensemble.

C'est pourquoi à la naissance d'un premier né, les parents en prennent possession "symboliquement", uniquement parce que le Kohèn (descendant de la tribu de Lévi) remplit la tâche qui incombait auparavant à ce premier né.
Afin qu'il revienne entièrement à ses parents, ceux-ci ont l'obligation de le racheter au Kohèn.

Comme vous le suggérez il existe une corrélation entre les premiers nés et les prémices des fruits (Bikourim) ainsi qu'il apparait sur le deuxième Rachi de la Paracha de Béréchite : "…pour Israël qui sont appelés les prémices de sa récolte".
Ainsi, tout premier né avant son rachat est considéré comme "Kodèch"; c'est-à-dire entièrement consacré à Hachèm et tant qu'il se trouve dans son état de "Kédoucha", il convient de ne pas l'associer à une activité matérielle profane (de même que l'on ne doit pas se servir d'un ustensile Kodèch pour un usage profane).
C'est pourquoi, avant d'être disqualifiés par leurs fautes, les premiers nés étaient destinés au service divin dans le temple.

Vous pourrez trouver les grandes lignes des lois concernant le rachat du premier né: question 731 « Le rachat du premier né »

Vous pouvez également visionner une vidéo forte intéressante sur le Rachat du premier né de l'âne en cliquant ici.

Désolé de ne pouvoir nous étendre plus longtemps sur ce sujet.
Un grand Mazal Tov et Kol Touv